本篇文章聚焦於「持倉規模決策的數學方法」，透過公式與模型幫助投資人以客觀、可重複的方式決定每筆交易的投入比例。
我們將從 Kelly 公式、均值‑變異模型、固定比例法以及風險平價等四大方向切入，並配合實際範例說明如何落地運用。
持倉規模決策的數學方法
投資人往往面臨「要買多少張、持有多久」這類難題。若只靠直覺或經驗，容易因情緒波動造成過度交易或保守失利。本章將介紹幾種可用於決定持倉規模的數學模型，並以簡單範例說明如何實際應用。
為什麼需要數學方法？
- 減少主觀判斷：透過公式計算，可讓決策更客觀、重複性強。
- 風險可控：模型內建風險參數，能即時調整以符合個人風險容忍度。
- 資金效率提升：在相同風險下，找到最佳的投入比例，提高報酬潛力。
常見的數學模型
1. Kelly Criterion 凱利公式
Kelly 公式原本是賭博理論，但被廣泛應用於投資。公式如下：
f^* = \frac{bp - q}{b}
其中，p 為勝率、q=1-p 為失利機率、b 為單位盈餘比（如 2:1）。若 f^* 為正數，即建議投入該比例資金；若為負數則不宜交易。
Python 範例
import math
p = 0.55 # 勝率 55%
b = 1 # 單位盈餘比（2:1）
f_star = (b * p - (1-p)) / b
print(f\"Kelly 建議投入比例：{f_star:.4%}\")
提示：實務上常取 Kelly 的 50% 或 25% 作為保守版本，避免過度槓桿。
2. 均值–變異模型（Mean‑Variance）
此模型源自現代投資組合理論，可用來計算每隻股票在整體風險下的最佳配置比例。核心公式為：
w = \frac{\Sigma^{-1}(\mu - r_f\mathbf{1})}{\mathbf{1}^T \Sigma^{-1}(\mu - r_f\mathbf{1})}
w：資金配置向量。µ：預期報酬率向量。Σ：報酬率協方差矩陣。r_f：無風險利率。\mathbf{1}：全 1 向量。
實務上可用 Excel 或 Python 的 NumPy 直接算出各股票的比例。
3. 固定比例法（Fixed Fractional）
最簡單的方式是設定固定投入比例，例如每筆交易使用總資金的 2%。這種方法不需要複雜計算，適合初學者快速落地。若想調整風險，可改成「Kelly 的 50%」或根據波動率做加權。
4. 風險平價法（Risk Parity）
風險平價主張每項資產對總風險的貢獻相等。計算方式為：
w_i = \frac{1/\sigma_i}{\sum_{j} 1/\sigma_j}
此法常見於多元資產配置，可減少單一大漲或跌對組合造成的衝擊。
實際計算範例：以 A 股 ETF 為例
| 參數 |
數值 |
| 勝率 p |
0.60 |
| 單位盈餘比 b |
1 |
| Kelly 建議比例 f* |
(1×0.6−0.4)/1 = 0.20 |
若您想保守起來，可取 Kelly × 50% = 10% 的投入。
注意事項與實務建議
- 資料品質：模型的輸入參數（勝率、波動率）必須基於充足且可靠的歷史資料。若資料不足，結果可能偏差。
- 動態調整：市場環境變化迅速，持倉比例也應定期重新評估。建議每月或每季檢視一次。
- 槓桿限制：即使 Kelly 公式給出高比例，也不一定適合所有人。請根據個人資金規模與風險容忍度做最後判斷。
- 交易成本考量：手續費、滑點等成本會削減實際報酬，建議在計算時扣除預估成本。
參考資料：Investopedia – Kelly Criterion, Morningstar – Risk Parity Explained。
結語
透過數學模型，投資人可以更有信心地決定每筆交易的持倉規模。雖然沒有「萬無一失」的方法，但結合嚴謹的計算與實務經驗，可大幅提升投資績效並降低情緒衝動所帶來的風險。
